Множество Мандельброта и его визуализация

Началось вот с этого:

Красиво, правда? Но правда ещё красивей!

Комплексные числа

В какой-то момент математики что-то вычисляли и столкнулись с такой ситуацией, когда обыкновенными числами было невозможно сделать их математические дела.

Например, найти верный корень в уравнении:


Тогда они придумали несуществующее число, которым ничего нельзя посчитать, но которое помогло им решить уравнение. Это число i, равное корню из минус одного. Совершенно абстрактная, но полезная ерунда.

Появились комплексные числа, у которых кроме нормальной, понятной части, появилась еще непонятная, где есть это i. Понятная часть называется вещественной, а непонятная — мнимой.

Комплексная плоскость

Раз уж комплексные числа состоят из двух частей (вещественной и мнимой) и координаты пикселей на экране тоже состоят из двух частей (сколько до него по горизонтали и сколько по вертикали), то можно нарисовать на экране карту комплексных чисел. Или, по-другому, комплексную плоскость.

На этой комплексной плоскости можно отметить любое комплексное число, например: –1,3 + 0,8i

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта — это группа комплексных чисел, которые проходят определенный фейс-контроль.

Правила такие: берем ноль, умножаем его на самого себя и прибавляем к комплексному числу, которое хотим проверить. Затем полученный результат умножаем на самого себя и опять прибавляем к нашему числу. Затем снова и снова, опять и опять. И так до бесконечности. С каждым подходом получается новое комплексное число, которое либо уходит все дальше и дальше от центра, либо нет.

Если оно сваливает в бесконечность — значит первоначальное число не прошло фейс-контроль. Если остаётся — добро пожаловать в множество Мандельброта.

Как можно увидеть, число –1,3 + 0,8i со второго подхода отправилось в закат, а вот -0,1 + 0,1i никуда не делось, сколько мы его ни дёргали.

Проверим каждый пиксель на экране:

Получается что-то, похожее на жопу (по-научному «кардиоида»). То, что закрашено белым цветом, входит в множество Мандельброта.
Всё остальное — нет.

Если приблизить картинку, то мы увидим всё новые и новые детали на границах жопы. На экране — часть предыдущей картинки. Она увеличена в 13 раз. Фишка в том, что плоскость можно приближать сколько угодно, всегда будет проявляться что-то новое, хотя и похожее на предыдущее. Такая штука называется фракталом.

Увеличевая в 210 000 раз. Видем только несколько маленьких жоп. Можно приближать и дальше, но всё равно мы получим круги и новые жопы.
Не очень впечатляет.

Волшебство

Вспомним, что картинка рисуется так: мы проверяем каждое комплексное число много-много раз, пока не поймем, проходит ли оно фейс-контроль. Дополним картинку: чем быстрее число уходит в бесконечность, тем темнее цвет.
Мгновенно улетело в пустоту?
Почти черный.
Едва-едва ползёт?
Почти белый.
Вот что получается:

Офигеть, правда?

Почти все точки на экране не входят в множество Мандельброта, но все сваливают от него с разной скоростью.

Рекурсивные палитры

Есть еще один крутой способ раскрасить картинку. Можно взять один набор цветов и залить не всё сразу, а раскрасить только 50% самых быстросваливающих. От оставшихся взять снова 50% и раскрасить. Потом еще 50% и так далее. Вот что получится, если взять только черный и белый цвета:

Рисунок стал контрастнее и интереснее в деталях.
Осталось добавить цвет.

Чёрная медуза:

Циклон:

Медузы выползают из трещины:

Остров Жюлиа.

Это официальное название. Филиал множества Жюлиа во множестве Мандельброта.

В центре острова бесконечное число оцеплений из циклонов охраняет короля жоп.

У больших циклонов в оцеплении есть свой шарик на ниточке.

Слои охраны около жала короля жоп. За каждым оцеплением своя атмосфера, которая просачивается между циклонами.

Жопа без охраны поросла двузубчатой электрической плесенью.

Хищная жопа-убийца раскинула ядовитые лапы в ожидании жертвы.

Долина вилок.

Луна.

Солнце.

Горящий корабль

Если чуть-чуть поменять правила на фейс-контроле, и перед тем, как что-то умножать на себя, убрать минусы из вещественной и мнимой части, то получится другой фрактал.

Флот горит.

Падающий собор.

Небоскрёбы.

Океан.

Открытое Пространство

Комментарии